张祥前《统一场论第六版》

四十一.电荷、电场与高斯定理

利用高斯定理可以更加清楚的刻画电荷、电场的几何形式。前面的电场几何方程中，电荷o点带有电荷量q，在周围空间p处产生的电场E【由o指向p的矢径为R】为：

E = k’(dA/dt）= k’g(dm/dt) R/r³

= k’g[k d(n/Ω) / dt] R / r³

我们现在考虑E ，k’，g，[k d(n/Ω) / dt]不变，R和r³之间的变化情况。

E = k’g[k d(n/Ω)/ dt] dr【R】/ 3r²

E = k’g k （d/ dt） (n/Ω)dr【R】/ 3r²

【R】为沿R方向的单位矢量，r是矢量R的数量。注意：以上的沿R方向单位矢量【R】不随r变化。

当我们再考虑方程E = k’g k （d/ dt）(n/Ω)dr【R】/ 3r²中n和Ω相对变化的时候，有方程：

E = k’g k （d/ dt）dn dr【R】/dΩ 3r²

令3dΩ r² = dS，单位矢量【R】和矢量面元dS【dS的数量为ds】的方向一致，这样有下式：

E = k’g k （d/ dt）dn dr【R】/ds

现在我们再考虑另一种情况，高斯面s = 4πr²中r不变，我们把dr设定为常数1，在仅仅是dn和dS之间的相对变化的情况下，上式也可以写为：

E· dS = k’g k （d/ dt） dn

注意dS、E的方向和【R】一致，把上式两边在高斯球面上积分，结果为：

E·dS = k’g k （d/ dt） n = q/ε。

n为高斯球面s = 4πr²上穿过的矢量R = Ct总的条数。把上式在直角坐标xyzo上展开。设E 在坐标上的分量为Ex,Ey,Ez 。

矢量面元dS的分量dydz i, dxdz j , dydx k ，由高斯定理得：

∫∫∫v（∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂xz ）dv

=∫∫s Ex dydz +Ey dxdz + Ez dydx = k’g k （d/ dt） n = q/ε。

上式直接的物理意义是：

方程∫∫s（Ex dydz ）+（Ey dxdz）+（Ez dydx） = k’g k （d/ dt） n 告诉我们，电场可以表示为单位时间内、单位面积s上垂直穿过几何线的条数。

而方程∫∫∫v（∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂xz ）dv = k’g k （d/ dt） n告诉我们，在运动变化的空间中，电场也可以表示为单位时间内高斯球面内接球体积v内包含的运动几何点位移的条数。

当这个体积v发生很微小的变化，变化的部分可以看成是v的界面，可以用曲面s表示，在v上电场的分布情况可以保留在s上，由v上的电场分布情况可以求出s上的电场分布。

这个意味着电场是物体周围空间相对于我们观察者以光速连续向外辐射运动所表现出的一种性质。

把上式用散度概念表示，设o点的电荷和包围o点的高斯曲面s内体积v的之比为u’, 当我们考察s和v趋于无限小的情况下，则式

q/ε。=E·dS =∫∫s Ex dydz +Ey dxdz + Ez dydx

可以表示为：

·E = u’/ ε。

上式表示在单位时间内、体积v内包围了运动的几何点的位移线R = Ct的条数反映了质点o电荷的大小。

如果有许多空间几何点连续不断的从无限远处越过高斯曲面s垂直穿进来，汇聚到o点，形成许多几何点的位移线，则这些位移线的条数反映了o点是负电荷，反之是正电荷。

在我们观察者面前，两个点电荷，周围空间逆时针旋转的是正电荷，周围空间顺时针旋转的是负电荷。