张祥前《统一场论第六版》

三十三.解释开普勒定理

我们知道牛顿的万有引力定理是从开普勒定理中结合牛顿力学中的一些认识而推导出来的。我们在这里首先解释开普勒定理。

在以上的“三维螺旋时空方程”指出，相对于我们观察者静止的物体周围空间的运动是两种基本运动形式的叠加，是旋转运动和旋转平面垂直方向上直线运动的叠加。

为了解释开普勒定理，我们在这里把引力场和旋转运动空间联系起来。

设想在某一个时刻t’，几何点p（坐标为x,y）绕物质点o点（限制在xy平面内）旋转运动，由o点指向p点的矢径R，从时刻t’开始，到时刻t”，扫过的矢量面积为W,方向沿z轴，按照前面的“三维螺旋时空方程”W和z成正比关系，也就是：

W ∝ z

在时刻 t’, 我们观察一个几何点p从o点出发，以光速度C沿z轴匀速直线运动，按照前面的“时间的物理定义”，时间t与几何点P以光速C沿z轴走过的路程成正比，也就是：

z = Ct

这样式W ∝ z可以改写为：

W ∝Ct，

由于C的数量为常数，C的方向明确在z轴上，有：

W ∝t，

上式表示由o点指向p点的矢量R扫过的面积和时间t成正比。把o点看成是太阳，几何点p看成是行星，式W ∝t表示由太阳指向行星的矢径扫过的面积和时间成正比，这个正是开普勒第二定理。

由上面的《引力场与高斯定理》，指出质点o周围引力场A可以表示为矢量面元dS 穿过几何点位移的条数，∮A·dS = k n = 4πG m，G为万有引力常数。

由于包围o点的高斯面为s = 4πr² ，r是由o点指向p点的矢径R的数量。引力场A可以表示为d²R/dt²，而dS环绕一周的积分结果和r平方成正比，所以由∮A·dS = 4πG m可以导出：

r³/t²∝m

在牛顿力学范围内，物质点o点的质量m是一个常数，把时间t用周期T表示，有：

r³/T²∝常数

以上就是开普勒第三定理。

下面我们来解释开普勒第一定理：行星在一个平面上以椭圆轨道绕太阳旋转运动，太阳在其中一个焦点上。

按照统一场论的看法，相对于太阳静止的观察者认为，太阳周围的任意一个几何点p（和太阳的距离为r）会以一个适合的速度V（和R相垂直）绕太阳旋转运动，几何点的运动是均匀的，而且走过的轨道是一个正圆。

现在我们设想一个行星处于p点的位置，会不会一定和p点一样以匀速率以正圆形式绕太阳旋转运动呢？

这个还要考虑行星的初始状态，如果这个处于p点的行星本来有一个合适的运动速度v，以匀速率v绕太阳旋转运动，走过的轨道肯定是一个正圆。

如果处于p点的行星本来有一个速度-v（和R相垂直）绕太阳旋转运动，在太阳上（相对于太阳静止）的观察者认为，这个行星将以加速度-v²/r自由的落到太阳上。

如果处于p点的行星本来有一个小于v的速度（和R相垂直）绕太阳旋转运动，在太阳上（相对于太阳静止）的观察者认为，这个行星将以抛物线运动形式落到太阳上。

如果处于p点的行星本来有一个略大于v的速度（和R相垂直）绕太阳旋转运动，在太阳上（相对于太阳静止）的观察者认为，这个行星将以椭圆形式在一个平面内绕太阳旋转运动。

如果处于p点的行星本来有一个远远大于v的速度（和R相垂直）绕太阳旋转运动，在太阳上（相对于太阳静止）的观察者认为，这个行星将以双曲线离开太阳运动。