张祥前《统一场论第六版》

二十一.推导出相对论的时空间隔不变性

现在设想有两个观察者分别在s系和s’系里，s系相对于s’系以速度V沿着x轴正方向运动。

s系的时空坐标我们记为（x,y,z,t）, s’系的时空坐标我们记为（x’, y’, z’, t’）。

设想在时刻t = t’= 0，s系和s’系的原点o点和o’点重合在一起。一个几何点p在时刻0开始，从o点和o’点出发，经过一段时间到达p点现在所处的位置。

将式R(t) = Ct = x i+ y j + z k 对自身点乘，结果为：

r²= c²t² = x²+ y²+ z²

r是矢量R的数量。r反映了在s系里，观察者测量p点相对于原点的移动距离。以上方程在相对论中也出现过，相对论中被认为是四维时空距离。

同样的道理，可以导出在s’系里，观察者测量p点相对于o’点的移动距离:

r’² = c²t’²= x’²+ y’² + z’²

由 r² = c²t²= x²+ y² + z² 可以导出：

c²t²- x²+ y² + z² = 0

由r’² = c²t’²= x’²+ y’² + z’²可以导出：

c²t’²- x’²+ y’² + z’² = 0

由以上方程可以得出时空间隔在相对匀速直线运动的两个惯性系里是不变的。